三维数学 | SleepyLoser's Blog

基础知识

三维数学基础知识

如何判断一个点在三角形（矩形、扇形）内

判断点在三角形内

重心法

面积法

如图：S▲ABP + S▲APC + S▲BPC = S▲ABC
利用叉乘求出各三角形面积即可（叉积的绝对值就是A和B为两边所形成的平行四边形的面积）

叉乘法

首先看一下这个问题，如何判断某两个点在某条直线的同一侧

判断两点是否在同一侧

根据向量的叉乘以及右手螺旋定则，AB x AM 的方向为向外指出屏幕，AB x AN 也是向外指出屏幕，但 AB x AO 的方向是向内指向屏幕，因此 M、N 在直线 AB 的同侧，M、O在直线AB的另一侧。
实际计算时，只需要考虑叉积的数值正负。假设以上各点坐标为A(0,0), B(4,0), M(1,2), N(3,4), O(3,-4)，则：
1. AB x AM = (4, 0) x (1, 2) = 4 · 2 - 0 · 1 = 8
2. AB x AN = (4, 0) x (3, 4) = 4 · 4 – 0 · 3 = 16
3. AB x AO = (4, 0) x (3, -4) = 4 · -4 – 0 · 3 = –16
由上面的数值可知，可以根据数值的正负判断叉乘后向量的方向。
回到原来的问题上。
沿逆时针方向，三角形两两顶点构成三个向量，比如AB,BC,CA，分别用这三个向量与起点和P的交点构成的向量求叉乘，如ABxAP, BCxBP, CAxCP
由右手定则，如果三个结果都是正的，说明这个点都在向量的左边，可以推导得出这个点在三角形内。否则只要有一个是负数，就说明在右边，在三角形外了。

如何判断一条射线是否与一个三角形相交

传统方法：
1. 首先判断射线是否与三角形所在的平面相交，如果相交求出交点，进而判断交点是否在三角形内；
2. 如果不相交或者交点不在三角形之内，则射线一定不与三角形相交。
  平面方程
  点法式
  已知平面上某个点坐标（维数 ≥ 3）及该平面的法向量，则该平面方程为：
  
  A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
  
  例如：某平面有一点为 u(1, 1, 2)，及该平面的法向量 n = (-1, -2, 1)
  
  设：x0 = 1，y0 = 1，z0 = 2
  
  则有：-1(x - 1) + -2(y - 1) + 1(z - 2) = 0
  
  化简后：-x - 2y + z + 1 = 0，即为平面方程
  一般式
  已知平面两点
  
  求该平面的方程，平面方程为：
  
  Ax + By + Cz + D = 0
  
  例如：某平面有两点分别为 u(1, 1, 2), v(-1, -2, -3)，求该平面的方程
  
  将两点视作两个向量, 两个向量做叉乘，求得垂直于两个向量所在平面的法向量
  
  第一步：u x v，求法向量
  
  第二步：将法向量代入A,B,C
  
  已知平面三点
  
  求该平面的方程，平面方程为：
  
  Ax + By + Cz + D = 0
  
  A = (y2 - y1) · (z3 - z1) - (z2 - z1) · (y3 - y1)
  
  B = (x3 - x1) · (z2 - z1) - (x2 - x1) · (z3 - z1)
  
  C = (x2 - x1) · (y3 - y1) - (x3 - x1) · (y2 - y1)
  
  D = -(A · x1 + B · y1 + C · z1)
  
  例：某平面有三点分别为 u(1, 1, 2), v(-1, -2, -3), w(0, 1, -1)，求该平面的方程
  
  求解后得：A = 9, B = -1, C = -3, D = -2
  
  平面方程为：9x - y - 3z - 2 = 0
Moller-Trumbore 算法：